박진원 회원 1 년 전에 질문함

$a_1, a_2 , a_3$ 와 $b_1, b_2 , b_3$ 가 실수이고, $b_1 \leq b_2 \leq b_3 $ 입니다.
$a_n$ 과 $b_m$ 을 하나씩 곱해서 더한 수 $a_i b_1 + a_j b_2 + a_k b_3$ 는 언제 최대일까요?
또 언제 최소일까요? 어떻게 증명하면 될까요?

5 답변
김한주 회원 1 년 전에 답변함

교수님 ! 제가 풀어보려고 했는데요…$b_1, b_2 , b_3$ 는 고정값이고 $a_1, a_2 , a_3$는 변수 인가요..?!
제곱해서 더한값 같은 것이 정해진 것이 없어서 코시 슈바르츠로 접근 하는 건 아닌 것 같고..  
$b_1, b_2 , b_3$ 는 고정값이라 생각하구 $a_1, a_2 , a_3$는 변수로 생각해서  $a_i b_1 + a_j b_2 + a_k b_3 = k$ 로 생각해서 등위곡면의 최대, 최소를 구하는 것인가도 생각해봤는데요. 아무래도 $a_1, a_2 , a_3$ 값이 달라질 때마다 최대, 최소가 유동적일 것 같아서 어떻게 접근해야하는지 잘 모르겠습니다.
제가 문제를 잘 이해 못하는 것 같은데요.. 힌트 좀 주실 수 있나요?!

박진원 회원 1 년 전에

a_1, a_2, a_3 도 고정된 값입니다. 너무 어렵게 생각한 것 같네요^^

김한주 회원 1 년 전에 답변함

$a_1, a_2 , a_3$도 고정된 값이라면.. 일반성을 잃지 않고  $a_1 \leq a_2 \leq a_3 $ 라고 가정하고  생각했을 때, 최대는 $a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$ 일 때, 최소는 $a_3 b_1 + a_2 b_2 + a_1 b_3$일 때라고 예상해봤는데요
최소는 케이스에 따라서 반례가 있어서 일반화는 못시켰고요, 최대는 인덱스가 같을 때, 즉, $a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$ 일 때 최대가 나오는 것을 볼 수가 있었어요.. 그래서 증명을 해보려고 했지만 잘 안됬습니다 ㅠㅠ a, b 각각의 부호에 따라 생각해보면 a의 부호 경우의수 8가지, b의 부호 경우의수 8가지라서 경우의수를 모두 따지려면 64가지를 따져야하는데 그러기엔 경우가 너무 많은 것 같고요. 어떤식으로 접근을 해야할지 모르겠습니다ㅠㅠ 어떻게 증명해야 할까요?! 

박진원 회원 1 년 전에

답은 맞습니다. 같은 순서대로 곱할 때가 제일 크고 역순으로 곱할 때가 제일 작습니다. 사실은 세 개가 아니고 일반적인 n개인 경우도 마찬가지입니다. 문제는 증명인데요…제일 큰 경우를 증명할 수 있으면, 제일 작은 경우는 바로 나오지 않을까요? 마이너스 부호를 붙이면 순서가 반대로 되고, 순서를 바꾸어서 제일 큰 경우를 생각하면 되니까요. 좀 더 생각해보세요.

김한주 회원 1 년 전에 답변함

증명해보겠습니다!!!
일반성을 잃지 않고  $a_1 \leq a_2 \leq a_3 $라 하겠습니다. 그리고  $b_1 \leq b_2 \leq b_3 $ 을 만족합니다.
증명 할 것은, $a_3b_1 + a_2b_2 + a_1b_3 \leq a_i b_1 + a_j b_2 + a_k b_3 \leq a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ 입니다.
i) $a_i b_1 + a_j b_2 + a_k b_3 \leq a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
i,j,k에 수를 부여하는 경우의 수는 3! = 6가지 있습니다. i=1, j=2, k=3 일경우 자명하게 부등식이 성립하기 때문에 나머지 5가지 경우에서 생각해보겠습니다.
$S=a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ $S’=a_i b_1 + a_j b_2 + a_k b_3$ 라 하겠습니다.
i=1, j=3, k=2 일 경우
$S-S’=(a_3-a_2)(b_3-b_2)$≥0 이므로 성립.

i=3, j=2, k=1 일 경우

$S-S’=(a_3-a_1)(b_3-b_1)$≥0

i=2, j=1, k=3 일 경우

$S-S’=(a_2-a_1)(b_2-b_1)$≥0

i=3, j=1, k=2 일 경우 이 때는 위의 방법처럼 풀면 인수분해가 안되서 다른 방법을 생각해봤는데요 !!

증명하기 전에 항이 두개 일 때 인덱스가 같은 경우가 최대가 된다는 것을 먼저 증명하겠습니다.

$a_2 b_1 + a_1 b_2  \leq a_1b_1 + a_2b_2 $ 증명

$S=a_1b_1 + a_2b_2 $ $S’=a_2 b_1 + a_1 b_2 $

$S-S’=(a_2-a_1)(b_2-b_1)$≥0 즉 항 두개에 대해서 인덱스가 같을 때 최대가 된다는 것을 볼 수 있습니다.

이제 i=3, j=1, k=2 일 경우에 대해서 생각을 해보겠습니다.

$a_3 b_1 + a_1 b_2 + a_2 b_3 \leq a_1b_1 + a_3b_2 + a_2b_3 \leq a_1b_1 + a_2b_2 + b_3b_3$

(왜냐하면 두 항의 인덱스를 같게 할 수록 수가 커지기 때문입니다.)

마찬가지로 i=2, j=3, k=1

$a_2 b_1 + a_3 b_2 + a_1 b_3 \leq a_1b_1 + a_3b_2 + a_2b_3 \leq a_1b_1 + a_2b_2 + b_3b_3$

따라서 모든 경우에서 성립하기 때문에 $a_i b_1 + a_j b_2 + a_k b_3 \leq a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ 가 성립합니다.

최솟값의 경우는 $a_3b_1 + a_2b_2 + a_1b_3$ 인데요 같은 방법으로 증명 가능합니다!

박진원 회원 1 년 전에

밑에서 6번째 줄 처음 부등식은 어떻게 나온거지요?

김한주 회원 1 년 전에 답변함

$a_3b_1 + a_1b_2 \leq a_1b_1 + a_3b_2$ 을 증명해보겠습니다.
$a_1 \leq a_3$ 이고 $b_1 \leq b_2$ 이기 때문에 여기서 $a_3$를 $a_2$ 로 봐도 무방합니다. 그렇기 때문에 여기서도 인덱스를 같게 할수록 수가 커집니다. 즉, 인덱스가 같은게 많아질 수록 수는 점점 커집니다.
굳이 $a_3$를 $a_2$로 보지 않더라도, $S=a_1b_1 + a_3b_2$ $S’=a_3b_1 + a_1b_2$  라 하면,
$S-S’=(a_3 – a_1)(b_2 – b_1)$ ≥ 0 이기 때문에 위 부등식이 성립합니다.

박진원 회원 1 년 전에

그렇네요.
$b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n$ 이 주어지고, $a_1 , a_2 , \cdots , a_n$ 이 주어진 경우로 이 증명 방법을 확장할 수 있나요?

김한주 회원 1 년 전에 답변함

가능 할 것 같습니다 .
마찬가지로 일반성을 잃지 않고 $a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4 \leq ··· \leq a_n$ 이라 가정하겠습니다.
$i<j$라 할 때,
$S=a_1b_1 + ··· + a_ib_i + ··· +a_jb_j + ··· + a_nb_n$
$S’=a_1b_1 + ··· + a_ib_j + ··· +a_jb_i + ··· +a_nb_n$
이렇게 인덱스가 모두 같은 식과 인덱스가 두 항에 대해서만 섞인 식을 생각해보면
$S-S’=(a_j-a_i)(b_j-b_i)$ ≥0 입니다. 즉, 인덱스가 같아지는 것이 많아질 수록 수는 커지기 때문에 당연히 최댓값은 $S$가 되고, 인덱스가 같은 두항을 같지 않게 섞게 될경우 점점 크기는 작아지게 됩니다.
$i<j<k$라 가정할 때,
$a_i \leq a_k$ $b_j \leq b_k$ 일 때,
$S=a_ib_j + a_kb_k$ $S’=a_kb_j + a_ib_k$ 라 하면
$S-S’=(a_k – a_i)(b_k – b_j)$ ≥0 이기 때문에
인덱스가 다른 것 끼리 섞게 될 경우도, 그 중 가장 큰 인덱스를 먼저 같게 만들어주면 수는 커지게 됩니다.
그렇기 때문에 최댓값은 $S=a_1b_1 + a_2b_2 + ··· + a_ib_i + ··· +a_jb_j + ··· + a_nb_n$ 입니다.

박진원 회원 1 년 전에

잘 했네요. 제일 작은 경우도 되겠지요? 이 부등식이 rearrangement inequality 라는 부등식입니다. 다음에 이 부등식을 이용해서 풀 수 있는 문제를 올리겠습니다.

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\not\equiv $\not\equiv$
아래 연산자는 위와 같이 \not을 붙임으로써
부정형이 될 수 있습니다.

간격
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$|\,|$ \, $\frac{3}{18}$글자
$|\:|$ \: $\frac{4}{18}$글자
$|\;|$ \; $\frac{5}{18}$글자
$|\quad|$ \quad 한글자
$|\qquad|$ \qquad 두글자

분수
\frac{}{}

조합
\binom{}{}

루트
\sqrt{}

진하게
\boldsymbol{}
\pmb{}

디스플레이스타일
\displaystyle

줄바꿈
\\

array환경
$\text{\begin{array}{cc}}$
a&b\\
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$\text{\end{array}}$

짝맞춤기호
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한쪽을 생략하려면 \right.
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예)
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