삼각형에 대해선 확실히 적용되는데,
임의의 도형에 대해서도 적용될까요?

그림상의 삼각형에서, $G(p,q)$를 시점으로 한 삼각형 내부의 모든 벡터들의 합이 $\vec{0}$가 될 때,
$G(p,q)$는 삼각형의 무게중심이다.
여기서, 모든 벡터들은 $G$를 새로운 원점으로 한 직교좌표의 $x$축 성분, $y$축 성분으로 나타낼 수 있으므로,

$(x_1-p+x_2-p+x_3-p+…..)=0$, $(y_1-q+y_2-q+y_3-q+…..)=0$,
하지만, 모든 벡터 성분들의 합을 구하는 건 사실상 불가능하므로, 벡터 성분들의 합에 대응하는 적절한 값으로 치환하여 계산해야 한다.

위 그림을 보고 $(y_1+y_2+y_3+…..)$에 대응되는 값을 정하자.
$(y_1+y_2+y_3+…..)$은 구할 수 없지만, $(y_1+y_2+y_3+…..)\Delta y$는 구할 수 있다.
여기서, $\Delta y$는 전체 값에 극한을 취해줄 때 균등하게 작아지는 양수이므로, $\sum y$를 비교하는데 신경쓰지 않아도 된다.
$\Delta y $(양수)를 무한히 0에 가깝게 함으로써 연속적인 y를 모두 더해준다. 즉,
$\lim_{\Delta y \to 0} \sum y \Delta y=\displaystyle \int_{y_3}^{y_1}y dy $ 즉, $\sum y$를 $\int y dy$에 대응시켜 계산해준다.
한편, $x_1$에 대한 $\sum y$가 $\displaystyle\int_{y_3}^{y_1} y dy$이고,
$x$가 취할 수 있는 모든 값의 범위에 대응되는 $\displaystyle \int y dy$를 전부 더해줘야 한다.
곧, $\sum \int y dy \Delta x$를 구해주고, $\Delta x$ (양수)를 무한히 0에 가깝게 함으로써 연속적인 벡터합의 대응값을 모두 더해준다. 즉, $lim_{\Delta x \to 0} \sum \displaystyle \int y dy \Delta x = \displaystyle \int \displaystyle \int y dy dx$를 구하고자 하는 모든 $y$벡터 성분들의 합에 대응시킬 수 있고,
무게중심을 새로운 좌표축으로 했을 때, 이 값이 곧 0이 된다는 것을 이용한다.

예시

q를 구하는 과정

꼭지점이 $A(-c,0)$, $B(c,0)$, $C(a,b)$인 삼각형을 좌표평면에 그리고, 각 변을 나타내는 함수를 구하면,
$AC: f(x)=\frac{b(x+c)}{a+c}\quad BC:g(x)=\frac{b(x-c)}{a-c} \quad AB:r(x)=0$—–(1)

가상의 무게중심 $(p,q)$를 기준으로 직교좌표를 설정하면 각 함수는 다음과 같이 변한다.
($x*+p=x$, $y*+q=y$를 대입)
$f(x*)=\frac{b(x*+p+c)}{a+c}-q,\quad g(x*)=\frac{b(x*+p-c)}{a-c}-q, \quad r(x*)=-q$
어떤 $x*$에 대한 $\sum y*$의 대응 값은 각각 $\displaystyle\int_{r(x*)}^{f(x*)} y dy$, $\displaystyle\int_{r(x*)}^{g(x*)} y dy$이다. 이 대응 값을 x*가 가질 수 있는 범위 내에서 전부 더한 값에 대응되는 값은 곧, $\displaystyle\int_{-c-p}^{a-p} \displaystyle\int_{r(x*)}^{f(x*)} y \,dy\, dx$, $\displaystyle\int_{a-p}^{c-p} \displaystyle\int_{r(x*)}^{g(x*)} y \,dy\, dx$이므로,

$\displaystyle\int_{-c-p}^{a-p} \displaystyle\int_{-q}^{\frac{b(x+p+c)}{a+c}-q} y \,dy\, dx=\frac{b(a+c)(b-3q)}{6}$
$\displaystyle\int_{a-p}^{c-p} \displaystyle\int_{-q}^{\frac{b(x+p-c)}{a-c}-q} y \,dy\, dx=\frac{-b(a-c)(b-3q)}{6}$
두 식을 더한 값이 0이므로, $\frac{b(a+c)(b-3q)}{6}+\frac{-b(a-c)(b-3q)}{6}=\frac{bc(b-3q)}{3}=0$
주어진 도형이 삼각형이려면 $b\ne 0$, $c\ne 0$이어야 하므로, $b-3q=0$, $q=\displaystyle\frac{b}{3}$이다.

p를 구하는 과정
(1)을 x에 관한 식으로 변형시키면,
$f^{-1}(y)=\frac{(a+c)y}{b}-c \quad g^{-1}(y)=\frac{(a-c)y}{b}+c \quad r(x)=0$
마찬가지로 가상의 무게중심 $(p,q)$를 기준으로 직교좌표가 설정되어 있으므로, 각 함수는 다음과 같이 변한다.
($x*+p=x$, $y*+q=y$를 대입)
$f^{-1}(y*)=\frac{(a+c)(y*+q)}{b}-c-p \quad g^{-1}(y*)=\frac{(a-c)(y*+q)}{b}+c-p \quad r(x*)=-q$
어떤 $y*$에 대한 $\sum x*$의 대응 값은 $\displaystyle\int_{f^{-1}(y*)}^{g^{-1}(y*)} x dx$이다.
이 대응 값을 y*가 가질 수 있는 범위 내에서 전부 더한 값에 대응되는 값은 곧 $\displaystyle\int_{-q}^{b-q} \displaystyle\int_{f^{-1}(y*)}^{g^{-1}(y*)} x \,dx\, dy$ 이므로,
$\displaystyle\int_{-q}^{b-q} \displaystyle\int_{\frac{(a+c)(y*+q)}{b}-c-p }^{\frac{(a-c)(y*+q)}{b}+c-p} x \,dx\, dy=\frac{bc(a-3p)}{3}=0$
주어진 도형이 삼각형이려면  $b\ne 0$, $c\ne 0$이어야 하므로, $a-3p=0$, $p=\displaystyle\frac{a}{3}$

곧, $G(p,q)=(\displaystyle\frac{a}{3},\displaystyle\frac{b}{3})$