박진원 회원 2 년 전에 질문함

직각을 낀 두 변의 길이가 각각 $a,b$ 이고 빗변의 길이가 $c$ 인 모든 직각삼각형에 대하여,  부등식

$a+b \leq kc$

를 만족하도록 하는 $k$ 의 최솟값을 구해보세요.

2 답변
Best Answer
임진모 회원 2 년 전에 답변함

$0< a+b \le kc$ 이고 $c$는 $\sqrt{a^2+b^2}$ 이므로 양변을 $c$로 나누면

$\displaystyle 0< \frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} \le k$

이제 양변을 제곱하면

$\displaystyle \frac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2} \le k^2 \Leftrightarrow 1+\frac{2ab}{a^2+b^2} \le k^2$ 입니다.

여기서 $(a-b)^2 \ge 0$ 이므로 전개하면

$a^2-2ab+b^2 \ge 0 \Leftrightarrow a^2+b^2 \ge 2ab$ 양변을 $a^2+b^2$으로 나누면

$\displaystyle \frac{2ab}{a^2+b^2} \le 1$ 양변에 1을 더하면

$\displaystyle 1+\frac{2ab}{a^2+b^2} \le 2$ 이것을 통하여

$\Longrightarrow 2 \le k^2$

$ \Longrightarrow \sqrt{2} \le k$

그래서 $k$의 최솟값은 $\sqrt{2}$ 입니다.

수학교육과 조교 회원 2 년 전에

수고했다 ㅋㅋ

임진모 회원 2 년 전에

감사합니다.
열심히 했어요 ㅋㅋㅋ

수학교육과 조교 회원 2 년 전에 답변함

답은 $\sqrt{2}$입니다! 풀이는 임진모가 쓸겁니다 ~

기호목록

  • 악센트
  • 그리스(소)
  • 그리스(대)
  • 이항관계
  • 이항연산
  • 큰연산자
  • 짝맞춤
  • 화살표
  • 기타기호
  • 함수목록
  • 폰트
  • 기본문법

\not\equiv $\not\equiv$
아래 연산자는 위와 같이 \not을 붙임으로써
부정형이 될 수 있습니다.

간격
$|\!|$ \! $-\frac{3}{18}$글자
$|\,|$ \, $\frac{3}{18}$글자
$|\:|$ \: $\frac{4}{18}$글자
$|\;|$ \; $\frac{5}{18}$글자
$|\quad|$ \quad 한글자
$|\qquad|$ \qquad 두글자

분수
\frac{}{}

조합
\binom{}{}

루트
\sqrt{}

진하게
\boldsymbol{}
\pmb{}

디스플레이스타일
\displaystyle

줄바꿈
\\

array환경
$\text{\begin{array}{cc}}$
a&b\\
c&d
$\text{\end{array}}$

짝맞춤기호
\left, \right이 함께 사용됨.
한쪽을 생략하려면 \right.
과 같이 '.'을 붙임.
내용물에 따라 길이가 자동 조절
예)
\left( \frac{2}{3} \right)
$\left( \frac{2}{3} \right)$

\$안에 텍스트 쓰기
\text{}