박진원 회원 1 년 전에 질문함

직각삼각형에서 $a+b \leq \sqrt2 c$ 이고 $a=b$ 일 때, $a+b = \sqrt2 c$ 입니다.
이 것과 같은 부등식을 일반삼각형에서 만들어보세요. 이 경우는, 위 부등식의 $\sqrt2$ 와 같은, 모든 삼각형에 공통으로 적용되는 상수가 나오지는  않겠지요. 주어진 삼각형의 다른 어떤 값을 사용한 식으로 나타나겠지요.

박진원 회원 1 년 전에

생각해보니까 식을 찾기는 쉽지 않겠네요. 길이가 $c$ 인 변과 마주보는 각이 $C$ 일 때
$a+b \leq \left( \csc \frac{C}2 \right) c$ 입니다. 증명해보세요.

3 답변
민규식 회원 1 년 전에 답변함

$\cos C \ge -1$ 인 성질을 이용해서 증명하겠습니다.

$(a-b)^2 \ge 0$ 이므로 양 변에 $(a-b)^2$ 를 곱해줍니다.

$(a-b)^2 + (a-b)^2 \cos C \ge 0$

$(a^2 – 2ab + b^2) + (a^2 – 2ab + b^2) \cos C \ge 0$

이 식을 적당히 변경하면

$(1 – \cos C)(a^2 + 2ab + b^2) \le 2(a^2 + b^2 – 2ab\cos C)$

제2코사인 법칙에 의해

$(1 – \cos C)(a^2 + 2ab + b^2) \le 2c^2$ 가 되고 식을 적당히 이항하면

$$\frac{(a + b)^2} {c^2} \le \frac{1} {\sin^2 \frac{C}{2}} = \frac{2}{1 – \cos C}$$

제곱 안의 숫자가 양수이기 떄문에 양 변의 제곱을 없애면

$\displaystyle \frac{a + b}{c} \le \frac{1}{\sin (\frac{C}{2})}$가 되고 $\displaystyle \frac{1}{\sin (\frac{C}{2})}$ 을 $\displaystyle \csc (\frac{C}{2})$ 로 바꿔주면

$\displaystyle a + b \le \csc (\frac{C}{2})c$

수학교육과 조교 회원 1 년 전에 답변함

저는 공식을 유도하는 방법을 찾아봤습니다.

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임의의 $\triangle ABC$에 대하여 위 그림과 같이 $\overline{BC} = \overline{B’C}$가 되도록

$\overline{AC}$의 연장선 위에 점 $B’$을 잡는다. $\displaystyle \angle CB’B = \frac{C}{2}$이다.

$a+b$와 $c$의 길이의 관계를 알아보기 위하여 $\triangle ABB’$을 관찰해보자.

$\triangle ABB’$과 $\angle CB’B$는 $\triangle ABC$의 모양(둔각, 직각, 예각)에 독립적으로 만들 수 있다.

$\angle ABB’$의 크기를 $\beta$라 하면 사인법칙에 의해서

$$\frac{a+b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin{\frac{C}{2}}} = c \csc{\frac{C}{2}}$$

$$a+b = c \csc{\frac{C}{2}} \sin \beta \le c \csc{\frac{C}{2}} $$

등호는 $\displaystyle \beta = \frac{\pi}{2}$일 경우 성립한다.

$a = b$일 경우 $\displaystyle \beta= \frac{C}{2} + \angle ABC = \frac{C}{2} + \frac{\pi – C}{2}=\frac{\pi}{2}$

따라서 $a = b$일 경우도 등호는 성립하지만 $\displaystyle \beta = \frac{\pi}{2}$가 더 일반적이다.

박진원 회원 1 년 전에 답변함

처음에 $a+b \leq kc$ 인 $k$ 를 구하라고 물어봤다가, $k$ 를 알려주고 증명하라고 했는데요. 조교선생님이 쉽게 구했네요.

규식이의 답은 (나도 비슷하게 생각했는데) 실제로 결과를 알고 있으니까 찾아낼 수 있는 방법인 것 같습니다.
$a+b \leq kc$ 인 $k$ 를 모르는 상태에서 실제로 찾으라고 하면 이렇게 하기는 힘들 것 같고, 조교선생님 풀이가
깔끔하고 좋은 것 같네요. $k$ 를 찾아낼 수 있으니까.

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\not\equiv $\not\equiv$
아래 연산자는 위와 같이 \not을 붙임으로써
부정형이 될 수 있습니다.

간격
$|\!|$ \! $-\frac{3}{18}$글자
$|\,|$ \, $\frac{3}{18}$글자
$|\:|$ \: $\frac{4}{18}$글자
$|\;|$ \; $\frac{5}{18}$글자
$|\quad|$ \quad 한글자
$|\qquad|$ \qquad 두글자

분수
\frac{}{}

조합
\binom{}{}

루트
\sqrt{}

진하게
\boldsymbol{}
\pmb{}

디스플레이스타일
\displaystyle

줄바꿈
\\

array환경
$\text{\begin{array}{cc}}$
a&b\\
c&d
$\text{\end{array}}$

짝맞춤기호
\left, \right이 함께 사용됨.
한쪽을 생략하려면 \right.
과 같이 '.'을 붙임.
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예)
\left( \frac{2}{3} \right)
$\left( \frac{2}{3} \right)$

\$안에 텍스트 쓰기
\text{}