수학 질문&답변분류: 기타 수학 및 중등수학삼각형의 넓이와 길이의 관계
박진원 회원 1 년 전에 질문함

방학인데 뭐하세요? 시간있을 때 풀어보세요. 그런데, 여기 들어와서 보는 사람이 있으려나…
한변의 길이가 $a$ 인 정삼각형의 넓이를 $S$ 라 하면 $S=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$ 입니다.
즉, $ 4 \sqrt 3 S= a^2 + a^2 +a^2$ 입니다.
일반적으로 삼각형의 세 변의 길이가 $a,b,c$ 인 삼각형의 넓이를 $S$ 라 하면
$4 \sqrt 3 S \leq a^2 + b^2 + c^2$
이라는데 증명해보세요.
 

2 답변
김한주 회원 1 년 전에 답변함

교수님 안녕하세요 !
저는 헤론의 공식을 이용해봤는데요.
헤론의 공식을 이용하면 삼각형의 넓이를 $S$라 했을 때 $S=\dfrac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4}$ 입니다.
그러므로 $(4 \sqrt 3 S)^2\\ = 3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\\ = 3{(a+b)^2-c^2}×{(c^2-(a-b)^2}\\ = 3{a^2+b^2+2ab-c^2}×{(c^2-a^2-b^2+2ab}\\ = 3{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}\\=3{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)}$
한편, $0 \leq (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2$ 이므로 $2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) \leq 2(a^4+b^4+c^4)$이고
$\dfrac{4}{3}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) \leq \dfrac{4}{3}(a^4+b^4+c^4)$ 입니다.
정리하면, $2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4) \leq \dfrac{(a^4+b^4+c^4)+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{3}$ 이 성립합니다.
따라서, $(4 \sqrt 3 S)^2 = 3{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)} \leq (a^4+b^4+c^4)+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=(a^2+b^2+c^2)^2$ 가 성립하기 때문에, $4 \sqrt 3 S \leq a^2+b^2+c^2$가 성립합니다.

박진원 회원 1 년 전에

잘 하셨네요. 제가 푼 답은 아니지만 다른 풀이를 올리겠습니다.

박진원 회원 1 년 전에 답변함

다음 그림에서

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$h= \dfrac{\sqrt3}{2}a +\alpha$, $d=\dfrac{a}2 – \beta$, $e=\dfrac{a}2 + \beta$ 라 두면
$a^2 + b^2 + c^2 – 4 \sqrt3 S = a^2 + h^2 + \left( \dfrac{a}2 + \beta \right)^2 + h^2 + \left( \dfrac{a}2 – \beta \right)^2 – 4 \sqrt3 \dfrac{ah}{2}$
$= \dfrac32 a^2 +2h^2 + 2 \beta^2 – 2 \sqrt3 a \left( \dfrac{\sqrt3}{2} a + \alpha \right)^2$
$= \dfrac32 a^2 + 2 \left( \dfrac{\sqrt3}{2} a + \alpha \right)^2 + 2\beta^2 -3 a^2 -2\sqrt3 a \alpha$
$= \dfrac32 a^2 + \dfrac32 a^2 + 2 \sqrt3 a \alpha + 2\alpha^2 + 2 \beta^2 -3a^2 -2\sqrt3 a \alpha $

$= 2 (\alpha + \beta)^2 \geq 0$

기호목록

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\not\equiv $\not\equiv$
아래 연산자는 위와 같이 \not을 붙임으로써
부정형이 될 수 있습니다.

간격
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$|\:|$ \: $\frac{4}{18}$글자
$|\;|$ \; $\frac{5}{18}$글자
$|\quad|$ \quad 한글자
$|\qquad|$ \qquad 두글자

분수
\frac{}{}

조합
\binom{}{}

루트
\sqrt{}

진하게
\boldsymbol{}
\pmb{}

디스플레이스타일
\displaystyle

줄바꿈
\\

array환경
$\text{\begin{array}{cc}}$
a&b\\
c&d
$\text{\end{array}}$

짝맞춤기호
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예)
\left( \frac{2}{3} \right)
$\left( \frac{2}{3} \right)$

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