수학 질문&답변분류: 이산수학스털링수 성질 하나
박진원 회원 1 년 전에 질문함

조합 $C(n,k)$ 는 $(x+y)^n$ 을 전개했을 때 계수로 나타나기 때문에 이항계수라고도 합니다. 스털링 수도 이와 비슷한 성질이 있습니다.
음이 아닌 정수에 $n$ 대하여 $x^{\underline{n}}$ 을 다음과 같이 정의합시다.

$x^{\underline{n}}= \begin{cases} \dfrac{x!}{(x-n)!} =x(x-1)(x-2) \cdots (x-n+1) \quad&(n >0) \\
0 \quad&(n=0)
\end{cases}$

다음 식들을 살펴봅시다.
$x^0 = 1 \cdot x^{\underline{0}}$
$x^1 = 0 \cdot x^{\underline{0}} + 1 \cdot x^{\underline{1}}$
$x^2 = \dfrac{x!}{(x-1)!} + \dfrac{x!}{(x-2)!}= 0 \cdot x^{\underline{0}} + 1 \cdot x^{\underline{1}}
+ 1 \cdot x^{\underline{2}}$
$x^3 = \dfrac{x!}{(x-1)!} + 3 \dfrac{x!}{(x-2)!} + \dfrac{x!}{(x-3)!}= 0 \cdot x^{\underline{0}} + 1 \cdot x^{\underline{1}}
+ 3 \cdot x^{\underline{2}} + 1 \cdot x^{\underline{3}}$

이 식에 나타난 계수와 앞에서 만든 표에 나타난 숫자들을 비교해보면, 계수가 표에 나타난 수와 일치하는 것을 알 수 있습니다.
수학적 귀납법을 사용하여 다음 관계가 성립함을 보일 수 있습니다.

(정리) 음이 아닌 정수 $n$ 에 대하여 $x^n = \displaystyle\sum_{k=0}^n S(n,k) x^{\underline{k}}$ 이다.

즉, 스털링 수는 $x^n$ 을 $x^{\underline{k}}$ 로 전개했을 때 나타나는 계수입니다.

기호목록

  • 악센트
  • 그리스(소)
  • 그리스(대)
  • 이항관계
  • 이항연산
  • 큰연산자
  • 짝맞춤
  • 화살표
  • 기타기호
  • 함수목록
  • 폰트
  • 기본문법

\not\equiv $\not\equiv$
아래 연산자는 위와 같이 \not을 붙임으로써
부정형이 될 수 있습니다.

간격
$|\!|$ \! $-\frac{3}{18}$글자
$|\,|$ \, $\frac{3}{18}$글자
$|\:|$ \: $\frac{4}{18}$글자
$|\;|$ \; $\frac{5}{18}$글자
$|\quad|$ \quad 한글자
$|\qquad|$ \qquad 두글자

분수
\frac{}{}

조합
\binom{}{}

루트
\sqrt{}

진하게
\boldsymbol{}
\pmb{}

디스플레이스타일
\displaystyle

줄바꿈
\\

array환경
$\text{\begin{array}{cc}}$
a&b\\
c&d
$\text{\end{array}}$

짝맞춤기호
\left, \right이 함께 사용됨.
한쪽을 생략하려면 \right.
과 같이 '.'을 붙임.
내용물에 따라 길이가 자동 조절
예)
\left( \frac{2}{3} \right)
$\left( \frac{2}{3} \right)$

\$안에 텍스트 쓰기
\text{}