수학 질문&답변분류: 대수학확대체의 대수적 관계
수학교육과 조교 회원 4 년 전에 질문함

체 $ F, E, K$가 $F \leq E \leq K$를 만족하면 $ K $가 $ F $위에서 대수적이기 위한 필요충분조건은 $ E $가 $ F $위에서 대수적이고, $ K $가 $ E $위에서 대수적인 것임을 보여라. (유한 확대체임은 가정하지 않았음.)

1 답변
Best Answer
수학교육과 조교 회원 4 년 전에 답변함

$ ( \Rightarrow ) $ $ K $가 $ F $위에서 대수적이므로 $ ^{\forall}\alpha \in E $, $ \alpha \in K $이고 $ \alpha $는 $ F $에서 대수적. $ K $가 $ F $위에서 대수적이므로 $ K $는 $ E $에서 대수적.

$ ( \Leftarrow )$ $ ^{\forall} \alpha \in K $, $ K $는 $ E $에서 대수적이므로 기약다항식 $ P(x)=a_{0} + a_{1}x + \cdots + a_{n}x^{n} \in E[x] $가 존재하여 $ P(\alpha) = a_{0} + a_{1}\alpha + \cdots + a_{n}\alpha^{n}=0 $.

$a_{i} \in E $이고 $E$는 $F$에서 대수적이므로 $F(a_{0},\;a_{1},\;\cdots,\;a_{n})$은 $F$의 유한 확대체이고 $\alpha$는 $F(a_{0},\;a_{1},\;\cdots,\;a_{n})$에서 대수적이므로 $F(a_{0},\;a_{1},\;\cdots,\;a_{n},\;\alpha)$는 $F(a_{0},\;a_{1},\;\cdots,\;a_{n})$의 유한 확대체.

따라서 $F(a_{0},\;a_{1},\;\cdots,\;a_{n},\;\alpha)$는 $F$의 유한 확대체.

$ \Rightarrow $ $\alpha$는 $F$위에서 대수적.

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