수학 질문&답변분류: 기타 수학 및 중등수학$\frac{x^2+1}{x^4+1}$의 부정적분
수학교육과 조교 회원 1 년 전에 질문함

$\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x^4+1}dx$을 계산해 보세요~

4 답변
김나영 회원 1 년 전에 답변함

부분분수를 이용해서 A와 B를 구해보자.

$\displaystyle \frac{x^2+1}{x^4+1} = \frac{A}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{B}{x^2+\sqrt{2}x+1}$

$\therefore \displaystyle A=\frac{1}{2},\; B=\frac{1}{2}$

$\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x^4+1} dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{1}{x^2+\sqrt{2}x+1} dx$

 

 

$(\mathrm{i}) \quad \displaystyle \int \frac{1}{x^2-\sqrt{2}x+1}dx = \int \frac{1}{(x-\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}} dx $

$\displaystyle x-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\tan \theta$로 치환하면

$\displaystyle dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\sec^2 \theta d \theta $

$\displaystyle \int \frac{1}{(x-\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}} dx = \int \frac{1}{\frac{1}{2} \sec ^2 \theta }\frac{1}{\sqrt{2}} \sec ^2 \theta d \theta = \int \sqrt{2} d \theta = \sqrt{2} \theta + C_1 = \sqrt{2} \arctan{(\sqrt{2}x-1)} +C_1$

 

 

$(\mathrm{ii})\quad \displaystyle \int \frac{1}{x^2+\sqrt{2}x+1} dx = \int \frac{1}{(x+\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}} dx$

$\displaystyle x+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\tan \theta$로 치환하면

$\displaystyle dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\sec^2 \theta d \theta $

$ \displaystyle \int \frac{1}{(x+\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{1}{2}} dx = \int \frac{1}{\frac{1}{2} \sec ^2 \theta }\frac{1}{\sqrt{2}} \sec ^2 \theta d \theta = \int \sqrt{2} d \theta = \sqrt{2} \theta + C_2 = \sqrt{2} \arctan{(\sqrt{2}x+1)} +C_2$

 

 

따라서 $\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x^4+1} dx = \frac{1}{2} ( \sqrt{2} \arctan{(\sqrt{2}x-1)} + \sqrt{2} \arctan{(\sqrt{2}x+1)})+C_1+C_2$

$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \arctan{(\sqrt{2}x-1)} + \arctan{(\sqrt{2}x+1)})+C$

수학교육과 조교 회원 1 년 전에

내가 조금 틀린부분 수정해줬다 ㅋㅋ

수학교육과 조교 회원 1 년 전에 답변함

나영이가 잘 풀었네요~

저는 다른 방법으로 풀어 보겠습니다.

분모와 분자를 $x^2$으로 나누면

$\displaystyle \int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx = \int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{(x-\frac{1}{x})^2+2}dx$

$\displaystyle u=x-\frac{1}{x}$로 치환하면

$\displaystyle du=\{ 1-(-\frac{1}{x^2}) \}dx=1+\frac{1}{x^2}dx$

$\displaystyle \int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{(x-\frac{1}{x})^2+2}dx = \int \frac{du}{u^2+2} = \int \frac{du}{u^2+\sqrt{2}^2}$

$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \left( {\frac{u}{\sqrt{2}}} \right)+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \left( {\frac{x-\frac{1}{x}}{\sqrt{2}}} \right)+C = \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \left( \frac{x^2-1}{\sqrt{2}x} \right)+C$

박진원 회원 1 년 전에 답변함

연립방정식은 아무도 안푸나요?

수학교육과 조교 회원 1 년 전에

그거 몇명이 풀긴 했는데 변수 하나 없애고 하는 방법으로 너무 더럽게 풀어서 획기적인 방법이 있는지 고민중이랍니다 ㅠㅠ

박진원 회원 1 년 전에

그렇게 더럽게 안 풀어도 되는데요. 그렇게 해서 답은 나왔나요?.

수학교육과 조교 회원 1 년 전에 답변함

나영이의 답을 정리하면

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \left( \frac{\sqrt{2}x}{1-x^2} \right) +C$$ 이고

제가 구한 답은

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \left( \frac{x^2-1}{\sqrt{2}x} \right) +C$$ 입니다.

언뜻 보기에는 둘이 다른 답처럼 보이지만 부정적분에서 큰 의미없는 상수차이로 같은 결과입니다.

$\displaystyle \arctan \left( \frac{x}{y} \right) = \frac{\pi}{2} – \arctan \left( \frac{y}{x} \right)$이기 때문입니다.

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